十二月小记之二

上次记录以来生了一次病，身上忽冷忽热，在寝室躺了一周，前三天几乎没有除睡觉以外的欲望，应该是新冠。写此文以庆贺复活！

数学

这几天又知道了一些名词，也算是有一些收获吧，姑记录于此，备考。

• 借了 Goldblatt 所著 Lectures on the Hyperreals (GTM  188)，这是我第一本 GTM 嘿嘿，算是对非标准分析的初步理解，超实数 Hyperreals 的 (其中一种) 构造尤其简单：全体实数序列 (意味着可数项分量) $r=⟨r_1,r_2,… ⟩$ 的等价类。即 $^∗{\mathbb R} := {\mathbb R} ^ {\mathbb N}/ \equiv$, $r≡s \ \ {iff}\ \ \{k∈N:r_k = s_k\}∈F$，其中 $F$ 是 $N$ 上的 (某个) 非主超滤。 　

  用超实数证明中值定理显得很简单，主要依据是转换原理，把区间分为无穷多长度无穷小的段，然后根据有限段的推理，得出无穷段的结论。最后依赖于一个比较重要的纲领完成证明：两个实数无穷接近，那么它们是同一个实数。 　

  另外书中提到，如果承认连续统假设，则如是构造出来的超实数在同构意义下唯一，即这样的超实数集不依赖于滤子 $\mathcal F$ 的选取。

• 借了汪芳庭先生的《算术超滤》希望能在寒假读一读。另外，还借了许全华的《泛函分析讲义》，意外地发现这本书有一张学长留下的纸条：

彩蛋

许全华的泛函大概是目前你所能找到的中文泛函分析教材 (本科水平) 中最好的。事实上，泛函的中文教材中只有 Kolmogorov, Lax 的值得一看。但 Kolmogorov 的两册太老了 (但很详细，如对于 Fourier 算子的矩阵表示，见下册，是别的教材中没有的)，Lax 很丰富但相对太简单了。

许书好在涉及了一些较现代的内容 (尤其是习题，可以参考 Albiac 的 Topics in Banach Space Theory (GTM 233))，这也是由于许全华继承了法国 Pisier，Maurey 泛函学派。这与某变分学院士的书形成对比。学过本书后，你可以继续学习上述 Albiac 的书，或了解 Assaf Naor 的工作，这些都是国内泛函研究不曾涉及的、比较奇趣的主题。

不愿留下姓名的学长
QQ:850458544

• 开始了解构造主义数学：今天看了一个科普视频 Five Stages of Accepting Constructive Mathematics (本视频有 pdf 稿 并 录像，请注意这个链接指向 YouTube；另有 国内搬运)，而且还挺认真地读了 nlab 上关于构造主义数学的词条，算是有了一个大概的了解。

  • 构造主义者并不认为排中律是错的，他们只是不承认。
  • 构造主义者通常也不承认选择公理，因为选择公理蕴含排中律 (视频中给出了证明，注意这个蕴含关系直到 1970 年才被发现)。
  • 没有排中律我们也能做很多事。
  • 同样地，没有选择公理我们也能做很多事，例如在无点拓 (Point-free / Pointless Topology) 中，可以在不承认选择公理与排中律的情况下证明 Tychonoff 定理 (当然，这是在无点拓扑中；于通常的拓扑学而言，本定理甚至蕴含选择公理)。
  • 就算是传统数学家 (都什么年代还在做传统数学) 也有关心构造主义数学的理由：在一些非常有趣的范畴里，它们的 “内逻辑” (Internal logic) 可能不支持选择公理，乃至排中律。另外有一些 Topos 似乎能作为构造主义数学生存的土壤。

辑录一些适合读的文章于此 (构造主义数学、HoTT 等)：

• AN INTRODUCTION TO UNIVALENT FOUNDATIONS FOR MATHEMATICIANS
• Introducing Constructive Mathematics
• An introduction to univalent foundations for mathematicians
• Homotopy type theory: the logic of space
• INTERVIEW WITH A CONSTRUCTIVE MATHEMATICIAN
• S Y M M E T R Y —— 一本据说用类型论视角探讨群论的书
• Warning Signs of a Possible Collapse of Contemporary Mathematics —— 一位极端的构造主义数学家 Edward Nelson 向学界发出的警告。(他不是民科，至少此人曾在普林斯顿任教，另外 nlab 称他为 Ultrafinitism。)

准备先读 five stage 的 pdf，再读 interview。

其他

现在看来似乎这里才是重头戏，数学几乎没咋学。😂

买了《亡灵书》《古埃及圣书字导读》，目前看着还挺有意思的，但是古埃及的字那么多象形符号，居然大部分是用来表音的？！只能说对汉字更生一分喜爱。而且最近又开始读《诗经》了，读到 “赳赳武夫，公侯干城” 的时候感叹自己高三古文没白读，还能记起来 “干” 指盾牌。

借了穆齐尔《在世遗作》、波拉尼奥《重返暗夜》，还有一位不太认识的作家 —— 让 · 热内 —— 的作品《阳台》，寒假准备读完 …… 嘶，之前买的《英雄与坟墓》还没读呢，上面那么多数学材料还没读呢 …… (更别说暑假买的一堆书)

借了《分析哲学导论》，读了开头。

对了，还买了徐明《符号逻辑讲义》，很可惜是盗版！

寒假计划

暂时不写太详细了：

• 读完《超实数导论》前三部分；
• 范畴论扫干净李文威前三章；
• 认真把多变量微分学了 (参考卓里奇)；
• 读完《英雄与坟墓》；
• Lean 做完教程。

这些做完之后应该也没时间了。