秦宇轩的个人主页 博文　读书　链接　杂项　兴趣　小笔记

量词与集合交并补的关系

在读 Axler 的 Measure, Integration & Real Analysis，其中第 36 页公式 2.49 引起了我的兴趣：Axler 是怎么写出来这种复杂的公式的？想到类型论中有着“积对于全称量词”、“余积对应存在量词”，我突然有了想法：

首先，给定一列良好函数 ${𝑓_{𝑖}}_{𝑖 \in 𝐼}$ ，使得所有的逐点极限皆存在，并定义

𝑓 (𝑥) ≔ lim 𝑓_{𝑖} (𝑥),

此时可以断言：

𝑓^{- 1} ((𝑎, 𝑏)) = ⋃_{𝑗} ⋃_{𝑚} (𝑘 \geq 𝑚) 𝑓_{𝑘}^{- 1} ((𝑎, 𝑏)) .

其实可以翻译成：

𝑓^{- 1} ((𝑎, 𝑏)) = \exists_{𝑗} \exists_{𝑚} \forall_{𝑘 \geq 𝑚}, 𝑥 \in 𝑓_{𝑘}^{- 1} ((𝑎, 𝑏)) .

这样便一目了然了。